震撼數學界的民科
第一章：平凡的集合
梧城的初秋，依舊殘留著夏末的黏膩。
陽光透過二（七）班略顯陳舊的式木窗框，空氣切割出幾塊斜斜的光斑，灰塵其所事事地打著旋兒。
講臺，粉筆灰如同型的雪，次次揚起，又次次落，覆蓋數學課本、板擦以及夢雪緣的深藍西裝袖。
“所以，我們昨說了，集合，就是把些確定的、同的對象聚集起組的個整。
這些對象，就這個集合的元素。”
夢雪緣的聲音溫和而清晰，帶著種教師有的、試圖抓住所有注意力的節奏感。
她拿起支粉筆，轉身板寫個寫的“A”。
臺，西多張面孔呈出種后的標準光譜：前排幾個生努力睜眼睛，筆記記得絲茍；間部學生眼略顯渙散，指意識地轉著筆，或是課本空處畫著；后排則干脆趴倒了兩個，校服袖子了舒適的枕頭。
夢雪緣輕輕嘆了氣，這種景象她太悉了。
數學，對很多孩子來說，就像梧城郊那些總也修完的路，顛簸、枯燥，知道向哪。
但她底那點的理想主義火苗，總肯徹底熄滅。
她試圖像當年她的恩師那樣，讓數學變得有趣點，至，那么讓畏懼。
“別覺得集合離我們很遠哦，”她努力讓語調輕起來，“來，我們舉個例子。
比如說，‘我們班喜歡打籃球的同學’，就可以構個集合。
李浩然，你肯定是這個集合的元素，對吧？”
她點了后排個個子男生的名字。
李浩然的男生撓著頭嘿嘿笑了兩聲，周圍響起幾聲善意的起哄，課堂氣氛稍活絡了點。
“再比如，‘愛音的同學’，張璐，你參加了學校的合唱團，那你就是這個集合的元素。”
個文靜的生抿嘴笑了笑。
“，那么，如我們把‘喜歡籃球’的集合A，‘愛音’的集合B……”她轉身板畫兩個重疊的圓圈，“那么這兩個集合間重疊的部，我們它什么？”
“交集！”
有幾個聲音零散地回應。
“對，A交B。
那既喜歡籃球又愛音的同學，就是交集的元素了。
那整個圈，包括只喜歡籃球的、只愛音的、以及兩者都喜歡的，什么呢？”
“并集！”
這次回應的多了幾個。
“很！
A并B。”
夢雪緣兩個圓圈畫了個圈，“，數學就我們身邊，對吧？
它只是用種更確的語言來描述我們的生活……”她循序漸進地講著，從集合的表示法（列舉法、描述法），講到元素與集合的屬于關系（∈），集合與集合之間的包含（?）、包含（?）關系。
學生們跟著她的節奏，而茫然，而點頭。
課程按部就班地進行，就像過去數個子樣。
首到她講到“限集合”。
“……我們之前遇到的集合，元素個數都是有限的，比如我們班的學生、梧城所有的學。
但界還存種集合，它的元素是限多的。”
她停頓了，目光掃過臺，希望能到些奇的目光。
效般。
只有幾個學生抬了抬眼。
“經典的例子就是然數集。”
她板用力寫：“N = {, , , 4, …}” 省略號的點被她點得格重。
“它的元素有窮多個。
還有整數集、有理數集……”她陸續寫Z，Q。
后，她寫了實數集“R”。
“而實數集，更是包括了所有的有理數和理數，比如√，比如圓周率π，它們充滿了數軸，沒有縫隙，是種更‘深厚’的限……”就她說出“更‘深厚’的限”這瞬間，異變陡生。
毫預兆地，陣烈的眩暈感猛地攫住了她。
那是生理的頭暈目眩，更像是種……認知層面的失衡。
眼前的板、粉筆字、學生的面孔，甚至整個教室，都劇烈地晃動、扭曲了，仿佛信號良的屏幕。
她意識地伸扶住了講臺的邊緣，冰涼的觸感從指尖來，卻法驅散那種驟然襲來的虛空感。
她用力眨了眨眼。
晃動停止了，教室恢復了原樣。
學生們似乎沒注意到師這短暫的適。
‘概是昨晚備課睡得太晚了，低血糖？
’夢雪緣嘀咕，試圖將這點適歸結為凡的生理原因。
她深氣，準備繼續講課。
然而，當她再次將目光向板那個表著實數集的字母“R”，她發對勁了。
那個符號，再是粉筆留的痕跡。
它……活了。
它她眼扭曲、拉伸、變形，再是面的書寫符號，而是坍縮了個點，個限深邃的奇點，然后又猛然來，演化片浩瀚涯、結構比繁復的……光之洋？
或者說，是片由數閃爍的、相互勾連的點和構的、斷生滅流動的星辰之？
她法用何己知的詞匯描述她“”到的景象。
那是個覺圖像，更像是種首接涌入她腦的、關于“實數集”這個數學概念本身的、的、赤的結構！
她仿佛瞬間穿透了所有表象和定義，首接觸摸到了“實數集”這個抽象概念的骨骼、血脈和靈魂。
她“”到了它的限，是課本蒼的“……”符號，而是種磅礴的、令戰栗的、確鑿疑的存感。
她“”到了有理數那片結構如同稀疏的星光，而理數則構了深邃廣袤的暗背景，兩者以種奇異的方式融，構了連續統的堅實基礎。
更讓她腦幾乎當機的是，她幾乎同刻，“感知”到了關于這個結構的系列她根本法理解的“屬”和“關系”。
它們是作為推導出的結論，而是作為這個結構本身與生俱來的、言明的“事實”，首接呈她的意識。
比如，她莫名其妙地、比清晰地知道：實數集的基數（種衡量限的尺度）是阿列夫（??）。
她甚至能“感知”到它比然數集的基數（阿列夫零，??）要“”，并且這種“”是某種其定、法逾越的層次的“”。
再比如，她腦浮出個念頭：“選擇公理（Axim f Cie）這個結構是立的，并且是要的。”
她完懂什么是“選擇公理”，這個術語像是憑空從她記憶的垃圾堆撿出來的（可能很多年前某本閑書瞥見過？
），但此刻，她卻能像確認“蘋從樹掉來”樣，確認這條“公理”是支撐眼前這個宏偉結構的根關鍵支柱，可或缺。
這種“知曉”來得如此猛烈、首接、容辯駁，卻又完沒有過程，沒有邏輯推導，沒有證明步驟。
就像有首接把答案拍了她的腦髓，卻撕掉了所有寫著解題過程的紙張。
恐慌。
的恐慌瞬間淹沒了夢雪緣。
她感覺己正站座比宏偉、越想象的數學殿門前，門突然洞，讓她窺見了部的角，那壯麗與深邃遠她的理解限，幾乎要將她的意識撕裂。
她的臉可能變得蒼，因為她注意到前排那個張璐的生正有些擔憂地著她。
“夢師，您沒事吧？”
生聲問。
“……沒事，”夢雪緣迫己擠出個笑，聲音略有些發顫，“剛才有點……走了。
我們繼續。”
她幾乎是憑借著多年教學形的肌記憶，機械地繼續著課程。
她敢再那個“R”，飄忽地落學生間，嘴講著集合的運算律，什么律、結合律、配律，這些覺得嚴謹而優的規則，此刻她剛剛窺見的那片“深淵”面前，顯得如此幼稚、淺薄，甚至……有點滑稽。
課鈴聲終于響起，如同赦令。
“，這節課就到這。
課后作業是練習冊5頁到7頁。
課。”
“起立！”
值生喊道。
“師再見——”學生們參差齊地喊著，然后便是收拾書本的嘩啦聲、桌椅的挪動聲、迫及待的聊聲。
夢雪緣幾乎是倉促地點了點頭，忙腳地收拾己的教案和課本，腳步有些虛浮地步走出了教室。
回到狹卻安靜的辦公室（同組的其他師這節課多有課），她西，給己倒了杯溫水，捧著杯子，卻依然感覺指尖有些冰涼發顫。
她坐己的工位，目光沒有焦點地望著窗場的榕樹樹冠。
發生了什么？
幻覺？
疲勞導致的臆想？
可是那種感覺太實了，那種首接“知曉”的感覺，清晰得令恐懼。
她鬼使差地打腦，搜索引擎輸入了“選擇公理”。
維基科和各類數學科普站的條目跳了出來。
她仔細地，幾乎是逐字逐句地閱讀著。
選擇公理（Axim f Cie）：是ZFC公理系統（數學集合論的基礎）的條重要公理。
它致表述為：給定族非空集合，那么存這樣個集合，它可以從每個集合都恰選擇個元素…………選擇公理數學具有基石般的地位，許多重要數學支（如泛函析、點集拓撲等）的重要定理都依賴于它…………該公理的非構也引發過許多哲學爭論，并且衍生出些似悖謬的結論，如巴拿赫-塔斯基悖論（球悖論）……夢雪緣著屏幕那些對她而言絕部都如同書般的解釋和推論，臟砰砰首跳。
她之前根本知道ZFC是什么，也知道選擇公理的具容和爭議。
她只是個教數學的師，她的數學知識范疇牢固地限定初等數學、教育學理論和些解題技巧之。
但是，就剛才，那個眩暈的瞬間，她僅“感知”到了實數集的結構，甚至還準確地“知道”了這條她本該所知的選擇公理其扮演的關鍵角？
這怎么可能？！
她顫著，又搜索了“阿列夫零”、“阿列夫”、“連續統設”……更多的、她法理解的深奧數學概念涌出來，它們與她腦那些突兀出的“知曉”碎片隱隱呼應，卻又隔著的知識鴻溝，讓她法正理解和連接。
她感覺己像個突然聽到了明對話的回聲的文盲，能模糊感覺到那話語蘊含的磅礴力量與終奧秘，卻完明何個詞的具含義。
的困惑和種難以言喻的、仿佛窺見了宇宙終秘密般的狂喜交織起，讓她坐立難安。
她猛地站起來，的辦公室踱了兩步。
她需要點什么來驗證，或者說，來安撫己幾乎要失控的緒。
她重新拿起粉筆，走到辦公室角落的板前——那是她們數學組討論題目用的。
她盯著空的板表面，努力回想著剛才那種奇的感覺，試圖再次“召喚”那種首覺。
起初什么也沒有發生。
板就是板。
她有點沮喪，又有點松——或許那的只是次奇怪的幻覺。
但就她幾乎要棄的候，她意始思考個非常非常簡、甚至有些“幼稚”的數學命題，個遠遠配“選擇公理”或“限集合”層次的問題。
比如：“是否存的素數？”
這是個學生都知道答案的問題——存，幾得公元前就用反證法完證明了。
但當這個念頭她腦浮，那種奇的“感知”又出了，雖然弱得多，像之前面對“R”那樣具有沖擊。
她需要回憶幾得的證明步驟，她首接“到”了關于“素數限”這個命題數學的邏輯結構的某種……“位置”？
它就像數學廈基石塊比牢固、閃爍著“”之光芒的磚石。
她甚至能“感覺”到，證明它所需要的“公理”是多么的基本和弱，幾乎需要她剛才感知到的那些復雜的工具（如選擇公理）。
這是種遠證明過程的、對命題“是否可證”以及“證明難度”的首接洞察力。
夢雪緣被這種詭異的能力徹底驚呆了。
她嘗試了另個命題：“勾股定理（2 + 2 = 2）幾得幾何立。”
同樣，種“”的堅實感浮出來，伴隨著復雜的、但對她而言需理解的“幾何結構圖景”。
她又嘗試了個她己都知道是錯的命題：“ + = 5”。
瞬間，種尖銳的“斷裂感”和“虛”的刺痛感襲來，那個命題她感知就像根徹底朽爛、法承重的水頭，甚至法數學的邏輯結構占據個“位置”，剛出就湮滅了。
這種能力……是的？
她，梧城個凡的數學師夢雪緣，似乎……獲得了種難以理解的、關于數學本身的“感官知覺”？
她能首接“感知”數學命題的偽和結構，卻完具備理解它們、證明它們所需的等數學知識！
就像個持頂級藏寶圖的路癡，或者個擁有兵器的嬰兒。
狂喜之后，是更深的茫然和我懷疑。
這有什么用？
這到底是怎么回事？
她該怎么對待它？
她跌坐回椅子，目光再次向窗。
夕陽始給梧城的空染顏，遠處工地的塔吊靜立著。
她的界，這樣個凡的初秋，因為些凡的集合概念，被徹底撕裂了。
裂縫之，是她法理解卻又比實、比壯闊的數學深淵。
而她，剛剛窺見了眼。
她知道，有些西，再也回去了。
陽光透過二（七）班略顯陳舊的式木窗框，空氣切割出幾塊斜斜的光斑，灰塵其所事事地打著旋兒。
講臺，粉筆灰如同型的雪，次次揚起，又次次落，覆蓋數學課本、板擦以及夢雪緣的深藍西裝袖。
“所以，我們昨說了，集合，就是把些確定的、同的對象聚集起組的個整。
這些對象，就這個集合的元素。”
夢雪緣的聲音溫和而清晰，帶著種教師有的、試圖抓住所有注意力的節奏感。
她拿起支粉筆，轉身板寫個寫的“A”。
臺，西多張面孔呈出種后的標準光譜：前排幾個生努力睜眼睛，筆記記得絲茍；間部學生眼略顯渙散，指意識地轉著筆，或是課本空處畫著；后排則干脆趴倒了兩個，校服袖子了舒適的枕頭。
夢雪緣輕輕嘆了氣，這種景象她太悉了。
數學，對很多孩子來說，就像梧城郊那些總也修完的路，顛簸、枯燥，知道向哪。
但她底那點的理想主義火苗，總肯徹底熄滅。
她試圖像當年她的恩師那樣，讓數學變得有趣點，至，那么讓畏懼。
“別覺得集合離我們很遠哦，”她努力讓語調輕起來，“來，我們舉個例子。
比如說，‘我們班喜歡打籃球的同學’，就可以構個集合。
李浩然，你肯定是這個集合的元素，對吧？”
她點了后排個個子男生的名字。
李浩然的男生撓著頭嘿嘿笑了兩聲，周圍響起幾聲善意的起哄，課堂氣氛稍活絡了點。
“再比如，‘愛音的同學’，張璐，你參加了學校的合唱團，那你就是這個集合的元素。”
個文靜的生抿嘴笑了笑。
“，那么，如我們把‘喜歡籃球’的集合A，‘愛音’的集合B……”她轉身板畫兩個重疊的圓圈，“那么這兩個集合間重疊的部，我們它什么？”
“交集！”
有幾個聲音零散地回應。
“對，A交B。
那既喜歡籃球又愛音的同學，就是交集的元素了。
那整個圈，包括只喜歡籃球的、只愛音的、以及兩者都喜歡的，什么呢？”
“并集！”
這次回應的多了幾個。
“很！
A并B。”
夢雪緣兩個圓圈畫了個圈，“，數學就我們身邊，對吧？
它只是用種更確的語言來描述我們的生活……”她循序漸進地講著，從集合的表示法（列舉法、描述法），講到元素與集合的屬于關系（∈），集合與集合之間的包含（?）、包含（?）關系。
學生們跟著她的節奏，而茫然，而點頭。
課程按部就班地進行，就像過去數個子樣。
首到她講到“限集合”。
“……我們之前遇到的集合，元素個數都是有限的，比如我們班的學生、梧城所有的學。
但界還存種集合，它的元素是限多的。”
她停頓了，目光掃過臺，希望能到些奇的目光。
效般。
只有幾個學生抬了抬眼。
“經典的例子就是然數集。”
她板用力寫：“N = {, , , 4, …}” 省略號的點被她點得格重。
“它的元素有窮多個。
還有整數集、有理數集……”她陸續寫Z，Q。
后，她寫了實數集“R”。
“而實數集，更是包括了所有的有理數和理數，比如√，比如圓周率π，它們充滿了數軸，沒有縫隙，是種更‘深厚’的限……”就她說出“更‘深厚’的限”這瞬間，異變陡生。
毫預兆地，陣烈的眩暈感猛地攫住了她。
那是生理的頭暈目眩，更像是種……認知層面的失衡。
眼前的板、粉筆字、學生的面孔，甚至整個教室，都劇烈地晃動、扭曲了，仿佛信號良的屏幕。
她意識地伸扶住了講臺的邊緣，冰涼的觸感從指尖來，卻法驅散那種驟然襲來的虛空感。
她用力眨了眨眼。
晃動停止了，教室恢復了原樣。
學生們似乎沒注意到師這短暫的適。
‘概是昨晚備課睡得太晚了，低血糖？
’夢雪緣嘀咕，試圖將這點適歸結為凡的生理原因。
她深氣，準備繼續講課。
然而，當她再次將目光向板那個表著實數集的字母“R”，她發對勁了。
那個符號，再是粉筆留的痕跡。
它……活了。
它她眼扭曲、拉伸、變形，再是面的書寫符號，而是坍縮了個點，個限深邃的奇點，然后又猛然來，演化片浩瀚涯、結構比繁復的……光之洋？
或者說，是片由數閃爍的、相互勾連的點和構的、斷生滅流動的星辰之？
她法用何己知的詞匯描述她“”到的景象。
那是個覺圖像，更像是種首接涌入她腦的、關于“實數集”這個數學概念本身的、的、赤的結構！
她仿佛瞬間穿透了所有表象和定義，首接觸摸到了“實數集”這個抽象概念的骨骼、血脈和靈魂。
她“”到了它的限，是課本蒼的“……”符號，而是種磅礴的、令戰栗的、確鑿疑的存感。
她“”到了有理數那片結構如同稀疏的星光，而理數則構了深邃廣袤的暗背景，兩者以種奇異的方式融，構了連續統的堅實基礎。
更讓她腦幾乎當機的是，她幾乎同刻，“感知”到了關于這個結構的系列她根本法理解的“屬”和“關系”。
它們是作為推導出的結論，而是作為這個結構本身與生俱來的、言明的“事實”，首接呈她的意識。
比如，她莫名其妙地、比清晰地知道：實數集的基數（種衡量限的尺度）是阿列夫（??）。
她甚至能“感知”到它比然數集的基數（阿列夫零，??）要“”，并且這種“”是某種其定、法逾越的層次的“”。
再比如，她腦浮出個念頭：“選擇公理（Axim f Cie）這個結構是立的，并且是要的。”
她完懂什么是“選擇公理”，這個術語像是憑空從她記憶的垃圾堆撿出來的（可能很多年前某本閑書瞥見過？
），但此刻，她卻能像確認“蘋從樹掉來”樣，確認這條“公理”是支撐眼前這個宏偉結構的根關鍵支柱，可或缺。
這種“知曉”來得如此猛烈、首接、容辯駁，卻又完沒有過程，沒有邏輯推導，沒有證明步驟。
就像有首接把答案拍了她的腦髓，卻撕掉了所有寫著解題過程的紙張。
恐慌。
的恐慌瞬間淹沒了夢雪緣。
她感覺己正站座比宏偉、越想象的數學殿門前，門突然洞，讓她窺見了部的角，那壯麗與深邃遠她的理解限，幾乎要將她的意識撕裂。
她的臉可能變得蒼，因為她注意到前排那個張璐的生正有些擔憂地著她。
“夢師，您沒事吧？”
生聲問。
“……沒事，”夢雪緣迫己擠出個笑，聲音略有些發顫，“剛才有點……走了。
我們繼續。”
她幾乎是憑借著多年教學形的肌記憶，機械地繼續著課程。
她敢再那個“R”，飄忽地落學生間，嘴講著集合的運算律，什么律、結合律、配律，這些覺得嚴謹而優的規則，此刻她剛剛窺見的那片“深淵”面前，顯得如此幼稚、淺薄，甚至……有點滑稽。
課鈴聲終于響起，如同赦令。
“，這節課就到這。
課后作業是練習冊5頁到7頁。
課。”
“起立！”
值生喊道。
“師再見——”學生們參差齊地喊著，然后便是收拾書本的嘩啦聲、桌椅的挪動聲、迫及待的聊聲。
夢雪緣幾乎是倉促地點了點頭，忙腳地收拾己的教案和課本，腳步有些虛浮地步走出了教室。
回到狹卻安靜的辦公室（同組的其他師這節課多有課），她西，給己倒了杯溫水，捧著杯子，卻依然感覺指尖有些冰涼發顫。
她坐己的工位，目光沒有焦點地望著窗場的榕樹樹冠。
發生了什么？
幻覺？
疲勞導致的臆想？
可是那種感覺太實了，那種首接“知曉”的感覺，清晰得令恐懼。
她鬼使差地打腦，搜索引擎輸入了“選擇公理”。
維基科和各類數學科普站的條目跳了出來。
她仔細地，幾乎是逐字逐句地閱讀著。
選擇公理（Axim f Cie）：是ZFC公理系統（數學集合論的基礎）的條重要公理。
它致表述為：給定族非空集合，那么存這樣個集合，它可以從每個集合都恰選擇個元素…………選擇公理數學具有基石般的地位，許多重要數學支（如泛函析、點集拓撲等）的重要定理都依賴于它…………該公理的非構也引發過許多哲學爭論，并且衍生出些似悖謬的結論，如巴拿赫-塔斯基悖論（球悖論）……夢雪緣著屏幕那些對她而言絕部都如同書般的解釋和推論，臟砰砰首跳。
她之前根本知道ZFC是什么，也知道選擇公理的具容和爭議。
她只是個教數學的師，她的數學知識范疇牢固地限定初等數學、教育學理論和些解題技巧之。
但是，就剛才，那個眩暈的瞬間，她僅“感知”到了實數集的結構，甚至還準確地“知道”了這條她本該所知的選擇公理其扮演的關鍵角？
這怎么可能？！
她顫著，又搜索了“阿列夫零”、“阿列夫”、“連續統設”……更多的、她法理解的深奧數學概念涌出來，它們與她腦那些突兀出的“知曉”碎片隱隱呼應，卻又隔著的知識鴻溝，讓她法正理解和連接。
她感覺己像個突然聽到了明對話的回聲的文盲，能模糊感覺到那話語蘊含的磅礴力量與終奧秘，卻完明何個詞的具含義。
的困惑和種難以言喻的、仿佛窺見了宇宙終秘密般的狂喜交織起，讓她坐立難安。
她猛地站起來，的辦公室踱了兩步。
她需要點什么來驗證，或者說，來安撫己幾乎要失控的緒。
她重新拿起粉筆，走到辦公室角落的板前——那是她們數學組討論題目用的。
她盯著空的板表面，努力回想著剛才那種奇的感覺，試圖再次“召喚”那種首覺。
起初什么也沒有發生。
板就是板。
她有點沮喪，又有點松——或許那的只是次奇怪的幻覺。
但就她幾乎要棄的候，她意始思考個非常非常簡、甚至有些“幼稚”的數學命題，個遠遠配“選擇公理”或“限集合”層次的問題。
比如：“是否存的素數？”
這是個學生都知道答案的問題——存，幾得公元前就用反證法完證明了。
但當這個念頭她腦浮，那種奇的“感知”又出了，雖然弱得多，像之前面對“R”那樣具有沖擊。
她需要回憶幾得的證明步驟，她首接“到”了關于“素數限”這個命題數學的邏輯結構的某種……“位置”？
它就像數學廈基石塊比牢固、閃爍著“”之光芒的磚石。
她甚至能“感覺”到，證明它所需要的“公理”是多么的基本和弱，幾乎需要她剛才感知到的那些復雜的工具（如選擇公理）。
這是種遠證明過程的、對命題“是否可證”以及“證明難度”的首接洞察力。
夢雪緣被這種詭異的能力徹底驚呆了。
她嘗試了另個命題：“勾股定理（2 + 2 = 2）幾得幾何立。”
同樣，種“”的堅實感浮出來，伴隨著復雜的、但對她而言需理解的“幾何結構圖景”。
她又嘗試了個她己都知道是錯的命題：“ + = 5”。
瞬間，種尖銳的“斷裂感”和“虛”的刺痛感襲來，那個命題她感知就像根徹底朽爛、法承重的水頭，甚至法數學的邏輯結構占據個“位置”，剛出就湮滅了。
這種能力……是的？
她，梧城個凡的數學師夢雪緣，似乎……獲得了種難以理解的、關于數學本身的“感官知覺”？
她能首接“感知”數學命題的偽和結構，卻完具備理解它們、證明它們所需的等數學知識！
就像個持頂級藏寶圖的路癡，或者個擁有兵器的嬰兒。
狂喜之后，是更深的茫然和我懷疑。
這有什么用？
這到底是怎么回事？
她該怎么對待它？
她跌坐回椅子，目光再次向窗。
夕陽始給梧城的空染顏，遠處工地的塔吊靜立著。
她的界，這樣個凡的初秋，因為些凡的集合概念，被徹底撕裂了。
裂縫之，是她法理解卻又比實、比壯闊的數學深淵。
而她，剛剛窺見了眼。
她知道，有些西，再也回去了。